命題１８
２つの数が与えられ、それらに対して第３の比例項を見つけることが可能かどうか調査すること。
AとBを与えられた２つの数とせよ。
それらに対して、第３の比例項を見つけることが可能かどうか調査することが要求されている。
AとBは互いに素であるか、そうでないかのどちらかである。
そして、もし、それらが互いに素であるならば、それらに対して第３の比例項を見つけることが不可能であることは証明されている。propositionⅨ１６
次に、AとBが互いに素でないとし、Bにそれ自身をかけられてCを作るとせよ。
そのとき、AはCを割り切るか、割り切らないかのどちらかである。
まず、AがCを割り切り、その商をDとせよ。
それゆえに、AはDをかけられてCを作る。
しかし、加えてBはそれ自身をかけられてCを作る。
それゆえに、AとDの積は、Bの上の平方数と等しい。
それゆえに、AはBに対して、BはDに対する。
それゆえに、第３の比例項Dが、AとBに対し見つけられた。propositionⅦ１９
次に、AがCを割り切らないとせよ。
AとBに対して、第３の比例項を見つけることは不可能であると主張する。
もし可能ならば、Dをそのような第３の比例項とせよ。
そのとき、AとDの積は、Bの上の平方数と等しい。
しかし、Bの上の平方数はCである。
それゆえに、AとDの積はCと等しい。
それゆえに、AはDをかけられてCを作る。
それゆえに、AはCを割り切り、その商はDである。
しかし、仮定からAはまたCを割り切らなく、これは不合理である。
それゆえに、２つの数が与えられ、それらに対して第３の比例項を見つけることが可能かどうか調査すること。